Courbe Plane PDF

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En mathématiques, plus précisément en géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe, désigne courbe Plane PDF sous-ensembles du plan, de l’espace usuel. La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1.


La donnée d’une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. La géométrie différentielle a pour objectif d’associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. La tangente est limite des sécantes. On commence par définir la droite sécante entre deux points M et N de la courbe : c’est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M. La tangente en M est également la droite  la plus proche possible  de la courbe au voisinage de M. La courbe reste très souvent d’un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du point M.

Cependant, en certains points particuliers, appelés points d’inflexion elle traverse sa tangente. On peut également définir le cercle osculateur de la courbe au point P comme le cercle  le plus proche possible  de P, au voisinage de P. Le centre du cercle osculateur est appelé centre de courbure et son rayon le rayon de courbure. La courbure est, par définition, l’inverse du rayon de courbure. La courbure au point P est d’autant plus forte que la courbe effectue en P un virage serré. La tangente décrit bien le comportement de la courbe au premier ordre : la tendance globale de la courbe est d’avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l’information précédente, en donnant la tendance à tourner d’un côté ou de l’autre de la tangente.

Pour les courbes de l’espace à trois dimensions, il est possible d’aller plus loin. Une correction, d’ordre 3, vient s’ajouter, qui correspond à une tendance à s’écarter du plan osculateur. Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d’invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d’approximation de plus en plus grands. Il existe pour les courbes planes plusieurs modes d’introduction traditionnels. On fait l’hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sont dérivables. La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas. L’interprétation cinématique classique est de considérer le paramètre t comme le temps, le vecteur dérivé est alors le vecteur vitesse.

On utilise pour ce type de courbe les coordonnées polaires. Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion de repère mobile. On parle aussi pour cet ensemble de la ligne de niveau C de la fonction f. Si la fonction f représente une altitude, on retrouve le concept familier de courbe de niveau d’une carte de géographie. Le théorème des fonctions implicites permet de trouver l’équation de la tangente à cette courbe en un point donné. Pour les courbes planes, l’invariant de torsion n’intervient pas. C définit un ensemble appelé surface de niveau de la fonction F.

Sous certaines conditions, l’intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente. Avec les coniques, on a un exemple très classique d’introduction des courbes par intersection de surfaces : ce sont les courbes obtenues par intersection d’un cône de révolution et d’un plan. Le principe est le même que pour les courbes planes, mais l’invariant de torsion peut intervenir. Lorsqu’on relâche l’exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation peut singulièrement se compliquer. Les trois premières étapes de la construction de la courbe de Peano. L’illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu’on range aujourd’hui dans la catégorie des fractales. Avec cet exemple, ou en considérant d’autres constructions de courbes fractales telles que le flocon de Koch ou la courbe du dragon, la notion de dimension semble perdre de sa pertinence.

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat de topologie à l’énoncé apparemment élémentaire reste vérifié : une boucle délimite un intérieur et un extérieur. Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l’espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue la théorie des nœuds. Un exemple de sextique du plan. Une courbe du plan est dite algébrique si son équation cartésienne est polynomiale. 6, et tous les autres termes sont de degré inférieur à 6. C’est donc une courbe de degré 6, ou sextique.

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