Le nombre d’or : Mythe ou mystère ? PDF

Le nombre d’or : Mythe ou mystère ? PDF

Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage le nombre d’or : Mythe ou mystère ? PDF  extrême et moyenne raison . Il intervient dans la construction du pentagone régulier.


Maintes fois débattu et développé, le thème du  » Nombre d’Or  » fait autant d’émules et de détracteurs qu’au début du XXe siècle. Certains croient que son histoire remonte à l’Egypte ancienne, d’autres clament qu’il n’a jamais existé ! Dans ce livre, l’auteur nous invite à réfléchir à la question :  » Le Nombre d’Or, mythe ou mystère ?  » Cette réflexion, qui passionne aussi souvent qu’elle rebute, nécessite de faire la part entre les faits historiques et les théories infondées, de comprendre les contextes autant que les idées. Par l’exposé de faits et de connaissances rarement rendus accessibles à un large public, Hannah Gabriel livre ici, une à une, les clefs essentielles permettant de comprendre ce qu’est le Nombre d’or. Enfin, elle donne l’opportunité de comprendre débats et polémiques entourant ce thème. Grâce à cet ouvrage, chacun saura prendre le pouls de cette fascinante histoire.

Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement si les longueurs a et b respectent la proportion d’or. Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportion définie par a et b est d’or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Il existe deux modes de définition du nombre d’or, celle géométrique qui s’exprime sous forme de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l’unique racine positive d’une équation.

L’objectif est de construire la figure 1. Dans un premier temps, on considère deux points O et A du plan euclidien situés à une distance a l’un de l’autre. Une fois la figure construite, il reste à montrer que les triangles OAB et OCA sont semblables. Pour cela, il suffit de montrer qu’ils possèdent deux angles en commun.

L’angle AOB est partagé par les deux triangles, il suffit donc de montrer que l’angle BAO est égal à OCA. Deux triangles semblables sont proportionnels, ce qui montre que la base du grand triangle OC est à OA la base du petit triangle, ce que OA un côté du grand triangle est à OB le côté équivalent du petit triangle. Soit OBC trois points alignés tel que la distance OB soit égale à c et BC à a. Soit γ le cercle de diamètre BC et A le point de γ tel que la droite OA soit tangente au cercle.

Les arguments de la démonstration précédente montrent que les triangles OAB et OCA sont semblables et que la figure obtenue est celle du paragraphe précédent. En conclusion la valeur c est égale à b, calculé au paragraphe précédent. La longueur a peut être choisie quelconque, une méthode simple consiste à la choisir égale à 1. La longueur de OC est égale à φ et aussi à la somme de la longueur de OI et de IC. 2, ce qui montre le résultat recherché.

Une autre solution pour le calcul de φ consiste à faire usage de la troisième définition. Un calcul ne faisant pas appel au discriminant est proposé en introduction dans l’article équation du second degré. Construction, à la règle et au compas, d’un segment de longueur égale au nombre d’or. Les calculs précédents permettent, à l’aide d’une règle et d’un compas de dessiner une proportion d’extrême et de moyenne raison.

La méthode est illustrée sur la figure 2. Cette méthode permet donc de construire un  rectangle d’or , c’est-à-dire un rectangle de longueur a et de largeur b tel que a et b soient en proportion d’extrême et de moyenne raison. En d’autres termes, un rectangle est dit d’or si le quotient de sa longueur par sa largeur est égal au nombre d’or. Deux petits rectangles d’or inscrits dans un grand rectangle d’or. Le rectangle de départ est d’or si et seulement si sa diagonale est confondue avec la diagonale du grand rectangle. Une feuille de papier au format A4 est trop large pour représenter un rectangle d’or, il faudrait enlever à son petit côté plus de deux centimètres et demi pour l’en rapprocher.

Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d’extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, alors la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Note : le rectangle « vertical, à droite » est aussi un rectangle d’or. Une fois la proportion d’extrême et de moyenne raison construite, il est simple de dessiner un pentagone. Un pentagone régulier se construit à l’aide de la proportion d’extrême et moyenne raison. Soit un cercle de diamètre OP1 et de rayon a, illustré sur la figure de gauche.

Elles s’expriment simplement à l’aide de triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont en proportion d’or. Un tel triangle est parfois appelé  triangle d’argent . La trigonométrie permet de montrer les différentes propriétés exposées dans ce paragraphe, il est aussi possible d’établir ces résultats à l’aide de la géométrie. Le premier lemme est la clé des différentes preuves.

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